المحاضرة

المحاضرة (11)

Carnot Engine

في سنة 1824 قام العالم الفرنسي Sadi Carnot بتصميم دورة لماكنة حرارية مثالية، بحيث انه لا يمكن بأي حال من الأحوال تصميم ماكنة حرارية تعمل بين مستودعين حراريين أن تكون كفاءتها أعلى من كفاءة ماكنة كارنو التي تعمل بين نفس المستودعين الحراريين.

Carnot Theory
No real heat engine operating between two heat reservoirs can be more efficient than a Carnot engine operating between the same two reservoirs.

لشرح فكرة عمل ماكنة كارنو سنفترض أن غاز مثالي في مكبس متحرك يعمل بين مستودعين حراريين هما T_c و T_h. نفرض أن كلاً من المكبس وجدار الاسطوانة غير موصلتين للحرارة. تتكون دورة ماكنة كارنو من أربعة مراحل منها مرحلتين تتمان عند ثبوت درجة الحرارة isothermal والآخرتين عند ثبوت كمية الحرارة adiabatic.

(1) The process A to B is an isothermal expansion at temperature T_hحيث يكون المكبس متصل حرارياً مع المستودع الحار وهنا يمتص الغاز كمية حرارة Q_h من المستودع الحار ويقوم الغاز ببذل شغل مقداره W_AB لرفع المكبس.

(2) The process B to C is an Adiabatic expansion
حيث يتم في هذه المرحلة انتقال المكبس إلى جدار عازل وتكون عملية تمدد الغاز في هذه المرحلة تحت كمية حرارة ثابتة وتنخفض درجة الحرارة من T_h إلى T_c ويبذل الغاز شغل مقداره W_BC لرفع المكبس إلى أعلى.

(3) The process C to D is an isothermal compression T_c
ينتقل المكبس إلى الجدار المتصل بالمستودع البارد عند درجة حرارة T_c والغاز ينضغط تحت درجة حرارة ثابتة T_c حيث يفقد الغاز كمية حرارة Q_c إلى المستودع البارد. وهنا يكون الشغل مبذول على الغاز ومقداره W_CD.

(4) The Process D to A is an adiabatic compression
وهنا ينتقل المكبس إلى الجدار العازل ليتم ضغط الغاز وترتفع درجة حرارته إلى T_h ويكون الشغل المبذول على الغاز W_DA.

يوضح الشكل التالي منحنى تغير الضغط مع الحجم PV diagram لدورة كارنو.

لإيجاد كفاءة ماكنة كارنو سنقوم باستخدام دورة كارنو الممثلة على منحنى الضغط والحجم في الشكل أعلاه. حيث أن الكفاءة تعطى بالمعادلة التالية:

في العملية من A إلى B تكون درجة الحرارة ثابتة وبالتالي فإن التغير في الطاقة الداخلية Internal Energy يساوي صفراً، وعليه تكون كمية الحرارة التي امتصها الغاز من المستودع الحار Q_h يساوي الشغل المبذول W_AB

وبنفس الطريقة تكون كمية الحرارة التي يفقدها الغاز في المرحلة من C إلى D تساوي الشغل W_CD

بقسمة المعادلتين السابقتين نحصل على

يمكن إثبات أن المقدار يساوي الوحدة من خلال الخطوات التالية:

حيث انه من معادلة الغاز عند عملية أديباتيكية يعطي بالعلاقة التالي:

نطبق ذلك على العملية الأديباتيكية من B إلى C والعملية الأديباتيكية من D إلى A نحصل على:

بتقسيم المعادلتين نحصل على:

وبهذا تكون المعادلة * على الصورة التالية:

وبذلك تكون كفاءة دورة كارنو هي

نستنتج من ذلك أن
All carnot engines operating between the same two temperatures have the same efficiency.

From Carnot's theorem the efficiency of of an engine operating in a cycle between two temperatures is greater than the efficiency of any real engine operating between the same two temperatures.

Example
A steam engine has a boiler that operates at 500K. The heat changes water to steam, which drives the piston. The exhaust temperature is that of the outside air, about 300K. (a) What is the maximum thermal efficiency of this steam engine? (b) Determine the maximum work the engine can perform in each cycle of operation if it absorbs 200J of heat from the hot reservoir during each cycle.

Solution
(a) From the efficiency of Carnot engine, the maximum thermal efficiency for any engine operating between these temperatures is:

وهذه تمثل أعلى كفاءة يمكن الحصول عليها في مثل هذه الظروف ولكن بالطبع المحرك الحقيقي ستكون كفاءته أقل من كفاءة محرك كارنو.

(b) The work can be found using the equation

The Work is

W = 0.4 x 200 = 80J

Example
The highest theoretical efficiency of a gasoline engine, based on the Carnot cycle, is 30%. If this engine expels its gases into the atmosphere, which has temperature of 300K, (a) what is the temperature in the cylinder immediately after combustion? (b) If the heat engine absorbs 837J of heat from the hot reservoir during each cycle, how much work can it perform in each cycle?

Solution
(a) We use the carnot efficiency to find T_h

(b)

The work can be found using the equation

The Work is

W = 0.3 x 837 = 251J

Example
A carnot engine is operated between two heat reservoirs at temperature of 450K and 350K. If the engine receive 100J of heat in each cycle, calculate,
(a) the amount of heat rejected.
(b) the efficiency of the engine.
(c) the work done by the engine in each cycle.

Solution
we have

T_h=450K, T_c=350K, Q_h=1000J

(a) from the equation

(b) = 0.22 = 22%